Il paradosso del Superenalotto

Per puro diletto matematico, oggi voglio regalare uno spunto di riflessione a tutti gli appassionati del gioco del superenalotto e non perchè sono contrario al gioco, o voglio allontanare la gente da questa perversa macchina mangia soldi, ma perchè credo che come per il tabacco, l'alcool o qualunque altro vizio umano, è fondamentale "conoscere per deliberare". Mostrerò una teoria statistica nota come "paradosso del compleanno" applicata alle estrazioni delle sestine. Il paradosso spesso viene citato nella sua formulazione didattica: "In un gruppo di 23 persone, la probabilità di trovare almeno 2 persone con lo stesso compleanno è pari al 50%". Ma, come si legge perfettamente da wikipedia, "il paradosso non è da intendersi nel senso di una contraddizione logica (antinomia), ma nel senso che la verità matematica contraddice l'intuizione naturale. Molte persone stimano che questa probabilità cresca molto più lentamente con la numerosità del gruppo. In particolare sembra quasi assurdo che bastino 50 persone per avere una probabilità prossima al 100%", più semplicemente si chiama paradosso, ma non lo è in quanto è un paradosso solo intuitivo ma non teorico.

Il paradosso del compleanno è una stima che fornisce un metodo per attaccare le funzioni hash crittografiche. Quest'ultime infatti, usate per le firme digitali o per memorizzare password criptate, possono essere forzate se si riesce a trovare una "collisione", cioè due valori per i quali la funzione fornisce lo stesso risultato. Senza entrare nel merito della dimostrazione, sappiamo che data una funzione hash \(h:X \rightarrow Z \) con cardinalità del codominio \(n=|Z|\), per avere una probabilità pari a \(p\) di trovare una collisione, bisogna calcolare il valore hash di circa \(k\) elementi casuali in \(X\) con \(k\) pari a:
\[k \simeq \sqrt{2n \ln \frac{1}{1-p}}\]

Ora possiamo immaginare le giocate come una funzione hash, dove il dominio è rappresentanto da tutte le sestine giocate, e il codominio tutte le sestine possibili, che sappiamo essere 622614630. Se applichiamo la formuletta con \(n=622614630\) ed \( p=0.999\), troviamo che con almeno 92745 sestine giocate c'è una probabilità pari al 99.9% di trovare una collisione, e cioè che 2 giocatori abbiano casualmente giocato la stessa sestina.
Quindi ai giocatori dico che: oltre ad avere fortuna a beccare un 6 al superenalotto, bisogna essere doppiamente "nati con la camicia" per evitare di spartire la vincita con qualcun altro. In ciò sta il paradosso: molte sestine sono uguali tra loro, nonostante siano milioni quelle che vengono giocate ad ogni concorso, ciò come sempre, a tutto vantaggio dell'erario e svantaggio dei giocatori.

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